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已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=bex+c(a,b,c∈R...

请问:已知函数f(x)=ax+lnx,g(x)=bex+c(a,b,c∈R...
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      2020-02-14 18:28:30

采纳答案   (Ⅰ) 函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=a+

1
x
(x>0).
当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上为增函数,f(x)没有极值;
当a<0时,f′(x)=
a(x+
1
a
)
x

若x∈(0,?
1
a
),则f'(x)>0;
若x∈(?
1
a
,+∞),则f'(x)<0,
∴f(x)存在极大值,且当x=?
1
a
时,f(x)极大值=f(?
1
a
)=ln(?
1
a
)?1.
综上可知:当a≥0时,f(x)没有极值;
当a<0时,f(x)存在极大值,且当x=?
1
a
时,f(x)极大值=ln(?
1
a
)?1.
(Ⅱ)∵函数g(x)的导函数g'(x)=bex
g'(0)=b.
∵g(0)=b+c,
b+c=1
b=1,  

∴g(x)=ex
当a=0时,f(x)=lnx,
令φ(x)=g(x)-f(x)-2,则φ(x)=ex-lnx-2,
∴φ′(x)=ex?
1
x
,且φ'(x)在(0,+∞)上为增函数,
设φ′(x)=0的根为x=t,则et=
1
t
,即t=e-t
∵当x∈(0,t)时,φ'(x)<0,φ(x)在(0,t)上为减函数,
当x∈(t,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)在(t,+∞)上为增函数,
∴φ(x)min=φ(t)=et?lnt?2=et?lne?t?2=et+t?2.
∵φ'(1)=e-1>0,φ′(
1
2
)=
e
?2<0,
   1970-01-01 08:00:00

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