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已知f(x)=ax-lnx,x属于(0,e】,g(x)=lnx/x,其...

(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由。

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      2020-02-14 18:28:31

采纳答案   f′(x)=a-1/x=(ax-1)/x
(1)a=1时,f′(x)=(x-1)/x
令f′(x)>0
1令f′(x)<0
0故f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增
当x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1
(2)令h(x)=f(x)-g(x)-1/2=x-lnx-lnx/x-1/2
h′(x)=(x²-x+lnx-1)/x²
令H(x)=x²-x+lnx-1
则H′(x)=2x-1+1/x=(2x²-x+1)/x>0
易知H(1)=0
故当010,即h′(x)>0
故当x=1时h(x)有最小值为h(1)=1/2>0
故对x∈(0,e]有h(x)>0
即f(x)>g(x)+1/2
(3)f′(x)=a-1/x=(ax-1)/x
当a<0时,易知ax-1<0
故f′(x)<0
即f(x)在(0,e]上单调递减
故当x=e时,f(x)有最小值
f(e)=ae-1=3
解之:a=4/e
不合题意
当a=0时,f′(x)=-1/x
同样f(x)在(0,e]上单调递减
显然也不合题意
当a>0时
令f′(x)>0
有(ax-1)/x>0
故x>1/a
令f′(x)<0
有(ax-1)/x<0
故0当1/a>e,即a<1/e时。f(x)在(0,e]上单调递减
故当x=e时,f(x)取最小值f(e)=ae-1=3
解之a=4/e
不合题意
当1/a≤e,即a≥1/e时。f(x)在(0,1/a]上单调递减,在[1/a,e]上单调递增
故当x=1/a时,f(x)取最小值f(1/a)=1+lna=3
解之a=e²符合题意
故综上a=e²时使f(x)的最小值是3    1970-01-01 08:00:00

  (2)要证f(x)>g(x)+1/2,只需证f(x)-g(x)>1/2
f(x)-g(x)=x-lnx-lnx/x=(x²-xlnx-lnx)/x
即f(x)-g(x)>x/2
设h(x)=x²-xlnx-lnx,则h'(x)=(2x²-x-1)/x=(2x+1)(x-1)/x
易知h(x)在(0,1)单调递减,在(1,e)单调递增,所以h(x)min=h(1)=1
而右端x/2在定义域内为单调递增函数,在1处取得最大值
所以h(1)=1>1/2
即原命题成立
(这是我做的,不知道有没有什么纰漏,各位多指教)    1970-01-01 08:00:00

  楼上解法有误 H(1)不为0    1970-01-01 08:00:00

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