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已知a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+ax-lnx,g(x)=...

请问:已知a为常数,a∈R,函数f(x)=x2+ax-lnx,g(x)=...
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      2020-02-14 18:28:33

采纳答案   (I)f′(x)=2x+a?

1
x
(x>0).  …(2分)
过切点P(x0,y0)的切线的斜率k=2x0+a?
1
x0
y0
x0
=
x02+ax0?lnx0
x0

整理得x02+lnx0?1=0.…(4分)
显然,x0=1是这个方程的解,又因为y=x2+lnx-1在(0,+∞)上是增函数,
所以方程x2+lnx-1=0有唯一实数解.故x0=1.…(6分)
(Ⅱ)F(x)=
f(x)
g(x)
x2+ax?lnx
ex
,F′(x)=
?x2+(2?a)x+a?
1
x
+lnx
ex
.…(8分)
设h(x)=?x2+(2?a)x+a?
1
x
+lnx,则h′(x)=?2x+
1
x2
+
1
x
+2?a.
易知h'(x)在(0,1]上是减函数,从而h'(x)≥h'(1)=2-a.   …(10分)
(1)当2-a≥0,即a≤2时,h'(x)≥0,h(x)在区间(0,1)上是增函数.
∵h(1)=0,∴h(x)≤0在(0,1]上恒成立,即F'(x)≤0在(0,1]上恒成立.
∴F(x)在区间(0,1]上是减函数.
所以,a≤2满足题意.            …(12分)
(2)当2-a<0,即a>2时,设函数h'(x)的唯一零点为x0
则h(x)在(0,x0)上递增,在(x0,1)上递减.又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.
又∵h(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-ea+lne-a<0,
∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x',
当x∈(0,x')时,h(x)<0,当x∈(x',1)时,h(x)>0.
从而F(x)在(0,x')递减,在(x',1)递增,与在区间(0,1]上是单调函数矛盾.
∴a>2不合题意.
综合(1)(2)得,a≤2.           …(15分)    1970-01-01 08:00:00

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