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已知函数g(x)=2/x+lnx f(x)=mx-(m-2)/x-lnx m是实数

1.求函数g(x)的极值点
2.若f(x)-g(x)在[1,正无穷)为单调函数 求m的取值范围
3.设h(x)=2e/x 若在[1,e]上至少存在一个x0 使得f(x0)-g(x0)>h(x0)成立 求m的取值范围

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   抽烟取暖   2020-02-14 18:21:30

  (1)g(x)=2/x+lnx
定义域x>0
g'(x)=-2/x²+1/x=(x-2)/x²
驻点:x=2
0<x<2,g'(x)<0,g(x)单调递减
x>2,g'(x)>0,g(x)单调递增
∴x=2,是极小值点。
(2)令i(x)=f(x)-g(x)=mx-(m-2)/x-lnx-2/x-lnx=mx-m/x-2lnx
i'(x)=m+m/x²-2/x=(mx²-2x+m)/x²
令j(x)=mx²-2x+m x≥1
m=0,j(x)=-2x,x≥1,j(x)≤-2,i'(x)<0,i(x)单调递减,成立
j(x)=mx²-2x+m 零点
x=(1±√1-m²)/m
当右零点≤1或零点不存在(|m|>1)时,x∈[1,+∞),j(x)恒大于或小于0,i(x)为单调函数
0<m≤1时,右零点(1+√1-m²)/m≤1 m=1
m<0时,右零点(1-√1-m²)/m≤0<1 恒成立
∴m的取值范围是m≥1∪m≤0
(3)令k(x)=f(x)-g(x)-h(x)=mx-(m+2e)/x-2lnx
k'(x)=m+(m+2e)/x²-2/x=[mx²-2x+(m+2e)]/x²
当Δ=4-4m²-8em<0→m>√(4e²+1)-4e或m<-√(4e²+1)-4e时,k(x)为单调函数
k(1)=m-1-2e
k(e)=me-5
当m<-√(4e²+1)-4e时,k(1)、k(e)<0→k(x)<0,无解
m>√(4e²+1)-4e
k(1)=m-1-2e>0 →m>1+2e
k(e)=me-5>0 →m>5/e
即m>5/e,至少有x₀=e,使得k(x₀)>0
当Δ≥0时,即-√(4e²+1)-4e<m√(4e²+1)-4e<0
存在驻点:x=(1±√1-m²-2em)/m <0,不在区间内
∴m的取值范围为:m>5/e。 硪發誓卟在愛伱   2020-02-14 18:22:42

  解:(1)g(x)=2/x+lnx
定义域x>0
g'(x)=-2/x²+1/x=(x-2)/x²
驻点:x=2
0<x<2,g'(x)<0,g(x)单调递减
x>2,g'(x)>0,g(x)单调递增
∴x=2,是极小值点。
(2)令i(x)=f(x)-g(x)=mx-(m-2)/x-lnx-2/x-lnx=mx-m/x-2lnx
i'(x)=m+m/x²-2/x=(mx²-2x+m)/x²
令j(x)=mx²-2x+m x≥1
m=0,j(x)=-2x,x≥1,j(x)≤-2,i'(x)<0,i(x)单调递减,成立
j(x)=mx²-2x+m 零点
x=(1±√1-m²)/m
当右零点≤1或零点不存在(|m|>1)时,x∈[1,+∞),j(x)恒大于或小于0,i(x)为单调函数
0<m≤1时,右零点(1+√1-m²)/m≤1 m=1
m<0时,右零点(1-√1-m²)/m≤0<1 恒成立
∴m的取值范围是m≥1∪m≤0
(3)令k(x)=f(x)-g(x)-h(x)=mx-(m+2e)/x-2lnx
k'(x)=m+(m+2e)/x²-2/x=[mx²-2x+(m+2e)]/x²
当Δ=4-4m²-8em<0→m>√(4e²+1)-4e或m<-√(4e²+1)-4e时,k(x)为单调函数
k(1)=m-1-2e
k(e)=me-5
当m<-√(4e²+1)-4e时,k(1)、k(e)<0→k(x)<0,无解
m>√(4e²+1)-4e
k(1)=m-1-2e>0 →m>1+2e
k(e)=me-5>0 →m>5/e
即m>5/e,至少有x₀=e,使得k(x₀)>0
当Δ≥0时,即-√(4e²+1)-4e<m√(4e²+1)-4e<0
存在驻点:x=(1±√1-m²-2em)/m <0,不在区间内
∴m的取值范围为:m>5/e 一路向前?   2020-02-14 18:23:54

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