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已知函数f(x)=x的平方-lnx

(1)求函数fx的图像在(1,f1)处的切线方程(2)求函数fx在区间【1/e,e】上的最大值和最小值

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      2020-02-14 18:29:52

采纳答案   证明:
(1)
f'(x)=(x+1)/x+lnx-1
xf'(x)=1+xlnx
xf'(x)≤x^2+ax+1
则x^2+ax-xlnx》0
a≥-x+lnx
令g(x)=-x+lnx
g'(x)=-1+1/x
g'(1)=0所以在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)为减函数
所以g(x)=-x+lnx≤-1 ,故g(x)=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1,
所以a≥-1
(2)
由(1)可得:lnx-x≤-1,即lnx-x+1≤0
当0<x<1 时,f(x)=xlnx+lnx-x+1<0,
当x≥1时,f(x)=xlnx+lnx-x+1
=lnx+(xlnx-x+1)
=lnx+x(lnx+ 1/x -1)
=lnx-x(ln1/x - 1/x +1)
≥0.
∴f(x)=xlnx+lnx-x+1=lnx+(xlnx-x+1)≥0
综上所述,(x-1)f(x)≥0    1970-01-01 08:00:00

  1) f(x)=x²-lnx
f'(x)=2x-1/x
f(1)=1
f'(1)=2-1=1
在(1, 1)处的切线为y=(x-1)+1
即y=x

2) 由f'(x)=2x-1/x=0, 得极值点x=√2/2
f(√2/2)=1/2-ln(√2/2)=0.5+0.5ln2
端点值f(1/e)=1/e²+1; f(e)=e²-1
比较得最大值为f(e)=e²-1, 最小值为=f(√2/2)=0.5+0.5ln2 本回答被提问者和网友采纳    1970-01-01 08:00:00

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