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已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0)(1)若函数满...

请问:已知函数f(x)=ax2+x-xlnx(a>0)(1)若函数满...
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      2020-02-14 18:30:44

采纳答案   (Ⅰ) 由f(1)=2,得a=1,
∵x>0,∴x2+x-xlnx)≥bx2+2x恒成立等价于b≤1-

1
x
-
lnx
x

令g(x)=1-
1
x
-
lnx
x
,可得g′(x)=
lnx
x2
∴x∈(0,1]时,g′(x)≤0
∴g(x)在(0,1]上递减,
在[1,+∞)上递增,所以g(x)min=g(1)=0,
即b≤0;
(Ⅱ)f′(x)=2ax-lnx,(x>0),
令f′(x)≥0得:2a≥
lnx
x

设h(x)=
lnx
x
(x>0),则h′(x)=
1?lnx
x2

令h′(x)>0,则0<x<e,令h(x)<0,解得:x>e,
∴当x=e时,h(x)max=
1
e

∴当a≥
1
2e
时,函数f(x)在(0,+∞)单调递增;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知g(x)在(0,1]上递减,
1
e
<x<y<1时,g(x)>g(y)即
1+lnx
x
1+lny
y

1
e
<x<y<1时,-1<lnx<0,
∴1+lnx>0,
y
x
1+lny
1+lnx
   1970-01-01 08:00:00

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