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已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R). (Ⅰ)讨论函数f...

(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极值,对∀x∈(0,+∞),f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围;(Ⅲ)当e-1<y<x时,试证明:e^(x-y)>{ln(x+1)}/{ln(y+1)}

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      2020-02-14 18:30:45

采纳答案   函数定义域为x>0,对函数f(x)求导得
f'(x)=a-1/x
极值点为f'(x)=0=a-1/x,即x=1/a
(1)讨论:
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,即函数单调递减,无极值点
当a>0时,f(x)在x=1/a处取得极值,即极值点个数为1个
(2)函数在x=1处取得极值,则a=1,f(x)=x-1-lnx
f(x)≥bx-2恒成立,即(1-b)x+1≥lnx恒成立
即直线y=(1-b)x+1始终在曲线u=lnx的上方
直线过定点(0,1),始终在曲线上方,则二者无交点
首先,直线斜率1-b必然大于0,否则必与曲线有交点,即有b<1
其次,直线斜率必大于曲线过点(0,1)的切线斜率,否则也有交点
对曲线求导得u'=1/x,即切线斜率为u'=1/x
设切点为P(m,n),则有u'(m)=1/m=(n-1)/m => n=2
u(m)=lnm=n=2 => m=e²
直线斜率大于曲线斜率,则有 1-b>1/m=1/e²,解得b<1-1/e²
∴实数b的取值范围为b<1-1/e²
(3)e-1 x-y>0, x+1>y+1>e
ln(x+1)>ln(y+1)>1, e^(x-y)>1
令g(t)=e^t/ln(t+1), 则g'(t)=e^t[ln(t+1)-1/(t+1)]/ln²(t+1)
由于ln(t+1)-1/(t+1)=[(t+1)ln(t+1)-1]/(t+1)
在t+1>e时,有(t+1)ln(t+1)-1>0,∴g'(t)>0此时恒成立
∴g(t)在t+1>e时为增函数
∴当x>y>e-1时,有g(x)>g(y)
即e^x/ln(x+1)>e^y/ln(y+1)
两边同乘以e^(-y)*ln(x+1)即可得
e^(x-y)>{ln(x+1)}/{ln(y+1)}    1970-01-01 08:00:00

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