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已知函数f(x)=ax-lnx,g(x)=eax+3x,其中a∈R.(Ⅰ)求f(x)的极值;(Ⅱ)若存在区间M,使f(x)和g(x)在区间M上具有相同的单调性,求a的取值范围.

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      2020-02-14 18:33:04

采纳答案   (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),
且f′(x)=a-

1
x
=
ax?1
x

①当a≤0时,f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.
从而f(x)没有极大值,也没有极小值.
②当a>0时,令f′(x)=0,得x=
1
a
.f(x)和f′(x)的情况如下:
x (0,
1
a
1
a
1
a
,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x)
故f(x)的单调减区间为(0,
1
a
);单调增区间为(
1
a
,+∞).
从而f(x)的极小值为f(
1
a
)=1+lna;没有极大值.
(Ⅱ)解:g(x)的定义域为R,且 g′(x)=aeax+3.
③当a>0时,显然 g′(x)>0,从而g(x)在R上单调递增.
由(Ⅰ)得,此时f(x)在(
1
a
,+∞)上单调递增,符合题意.
④当a=0时,g(x)在R上单调递增,f(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.
⑤当a<0时,令g′(x)=0,得x0=
1
a
ln(-
3
a
).g(x)和g′(x)的情况如下表:
x (-∞,x0 x0 (x0,+∞)
g′(x) - 0 +
g(x)
当-3≤a<0时,x0≤0,此时g(x)在(x0,+∞)上单调递增,由于f(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.
当a<-3时,x0>0,此时g(x)在(-∞,x0)上单调递减,由于f(x)在(0,+∞)上单调递减,符合题意.
综上,a的取值范围是(-∞,-3)∪(0,+∞).    1970-01-01 08:00:00

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