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已知函数g(x)=(2-a)lnx,h(x)=lnx+ax2(a∈R...

请问:已知函数g(x)=(2-a)lnx,h(x)=lnx+ax2(a∈R...
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      2020-02-14 18:33:06

采纳答案   (Ⅰ)当a=0时,g(x)=2lnx,h(x)=lnx,
∴h′(x)=

1
x

∵f(x)=g(x)+h′(x),则f(x)=2lnx+
1
x
,定义域为(0,+∞),
∴令f′(x)=
2
x
-
1
x2
=
2x?1
x2
=0,解得x=
1
2

当x∈(0,
1
2
)时,f′(x)<0,f(x)在(0,
1
2
)上单调递减,当x∈(
1
2
,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(
1
2
,+∞)上单调递增,
∴当x=
1
2
时,函数f(x)取得极小值f(
1
2
)=2-2ln2;
(Ⅱ)∵g(x)=(2-a)lnx,h(x)=lnx+ax2
∴h′(x)=
1
x
+2ax,
∴f(x)=(2-a)lnx+
1
x
+2ax,
∴f′(x)=
2?a
x
-
1
x2
+2a=
2ax2+(2?a)x?1
x2
=
(ax+1)(2x?1)
x2

令f′(x)=0,解得x=-
1
a
1
2

∵a<-2,∴-
1
a
1
2

令f′(x)<0,解得0<x<-
1
a
或x>
1
2

令f′(x)>0,解得-
1
a
<x<
1
2

∴f(x)的单调减区间为(0,-
1
a
),(
1
2
,+∞),单调增区间为(-
1
a
1
2
);
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当-3<a<-2时,f(x)在[1,3]上单调递减,
∴f(x)max=f(1)=2a+1;f(x)min=f(3)=(2-a)ln3+
1
3
+6a,
∴|f(λ1)-f(λ2)|max=f(1)-f(3)=(1+2a)-[(2-a)ln3+
1
3
+6a]=
2
3
-4a+(a-2)ln3,
∵?λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)-f(λ2)|<(m+ln3)a-2ln3成立,
∴(m+ln3)a-2ln3>
2
3
-4a+(a-2)ln3,整理得ma>
2
3
-4a,
又a<0,∴m<
2
3a
-4,
又∵-3<a<-2,∴-
1
3
2
3a
<-
2
9

∴-
13
3
2
3a
-4<-
38
9

∴m≤-
13
3
,即m的取值范围是m≤-
13
3
   1970-01-01 08:00:00

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